De naranjas y paradojas

Esquina de Palma y Donceles. Atardecer soleado. Buen humor. El Neto, como siempre, atrae a los transeúntes con la mejor de sus letanías: señor, señora, señorita, que no le digan, que no le cuenten, aquí le vengo a mostrar, lo que ni los más grandes científicos, acaban por comprobar. La gente se acerca y el Neto, profesional del oficio, crea suspenso antes de entrar en acción. ¡A ver señorita! sí, usted, usted, la del collar de bolitas ¡acérquese por favor! La Lupe, que ya no puede con la bolsa de naranjas, se aproxima, no sin cierta timidez. Deje por aquí la bolsa señorita-dice el Neto- y présteme una de sus naranjas.

El Neto, naranja en mano, incita a la gente a fijar su atención en ésta y también en su “navajita milagrosa” que, con ceremonia episcopal, ha sacado de su bolsa. Lleva sus manos a las alturas y promete con grandilocuencia el milagro de milagros: la duplicación de la naranja. Los menos blasfemos se persignan, los más, piensan que a ese merolico güey, ni un peso cuando pase el sombrero.

El Neto ha creado el momento, las miradas se concentran en las manos en alto que llevan la naranja y la navaja. Con destreza de cirujano y ante los ojos incrédulos, divide la naranja en varios pedazos que muestra al público. Después, con rapidez felina, reacomoda los pedazos en lo que, para el asombro general ¡son dos naranjas idénticas a la original! La gente no da crédito a sus ojos: ahí está el Neto, triunfal, mostrando ante su público las dos naranjas. El Neto llama a la mano santa del respetable público para que certifique que, efectivamente, las naranjas son iguales y no les falta nadita de lo que tenía la original.

El público quiere más, ofrecen las naranjas de la Lupe, para que el Neto multiplique el milagro no una, sino dos docenas de veces. La suspicacia también ronda, Bety la del ITAM, sabe que hay gato encerrado, aunque sus ojos no pueden mentirle. Se aparta de la muchedumbre, no sin antes dejar diez pesos en el sombrero. Cavila hacia sus adentros sobre el acontecimiento. “Mañana le pregunto al profe de cálculo” se dice.

Dos semanas después Bety siente que algo se le ha olvidado, recuerda que viene el departamental de cálculo, pero había algo más por ahí que la tenía intrigada. Ya en la clase de cálculo el profe comienza su perorata sobre medición de áreas y volúmenes:

            “Desde la remota antigüedad, la humanidad tenía necesidad de calcular  áreas y volúmenes de ciertas superficies y cuerpos geométricos. Pero cuando uno pasa de medir áreas de parcelas o volúmenes de pelotas, a tratar de asignar área o volumen, a objetos que sean más caprichosos en forma y descripción, surge inmediatamente el problema de cómo calcular  tal área o volumen y también el problema de cuál debe ser una noción correcta de área o volumen.

            Los osados matemáticos pretendieron calcular el volumen, por ejemplo, de cualquier subconjunto del espacio tridimensional (R3), con las condiciones de que el volumen de un objeto no cambie al trasladarlo o rotarlo, que el volumen de una colección (numerable) de objetos que no se interceptan sea la suma de los volúmenes individuales y que en objetos sencillos como cajas, el volumen se calcule como debe ser: largo por ancho por alto (en suma, éstas son las propiedades que definen una buena noción de volumen).

            Fue el matemático francés Henri L. Lebesgue (francés, 1875 – 1941) quién demostró que no es posible calcular el volumen a cualquier subconjunto del espacio R3 si se piden las condiciones del párrafo anterior. Luego, debe haber subconjuntos de R3 a los que no se les pueda asignar un volumen.

            El matemático italiano Giuseppe Vitali (italiano, 1875 – 1932 ) exhibió ejemplos, relativamente complicados, de conjuntos que no pueden tener volumen.

            Habiendo conjuntos que no pueden tener volumen (no-medibles en la jerga matemática) Stefan Banach (polaco, 1892 – 1945) y Alfred Tarski (polaco, 1902-1983 ) demostraron el famoso Teorema de Banach-Tarski (también conocido como la paradoja de Banach-Tarski).

            La paradoja puede enunciarse como sigue: Dado un cuerpo sólido en R3, es posible dividirlo en un número finito de partes y re-ensamblar todas esas partes para producir dos objetos sólidos idénticos al original.

            También, por ejemplo, podría enunciarse así:

            Dada una esfera sólida del tamaño de un chícharo, es posible dividirla en un número finito de partes de tal forma que algún re-ensamblado de todas esas partes produzca una esfera sólida del tamaño del sol.”

Bety pensó en el Neto: el condenado había usado su navaja para cortar un no-medible en la naranja.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas