Tiempo

Dividimos el infinito tiempo en porciones finitas, medibles, repetibles. Le damos esa forma circular con la única esperanza de darle sentido. Le hacemos cortes ficticios para sentir la recompensa del deber cumplido y la invaluable oportunidad de comenzar de nuevo. Dividimos el tiempo para poder lidiar con el desasosiego que provoca la eternidad. Feliz comenzar de nuevo. Feliz año nuevo.

Los mejores del 2010

Año con año el Financial Times publica una lista con los mejores libros en varias categorías. Aquí la lista de los mejores de Business & Economics  y la liga para ver la clasificación completa:


The Fearful Rise of Markets: A Short View of Global Bubbles and Synchronised Meltdowns, by John Authers, Financial Times/Prentice Hall

The End of the Free Market: Who Wins the War Between States and Corporations?, by Ian Bremmer, Viking

Banking on the Future: The Fall and Rise of Central Banking, by Howard Davies and David Green, Princeton University Press

The Art of Choosing: The Decisions We Make Every Day – What They Say About Us and How We Can Improve Them, by Sheena Iyengar, Little, Brown

The Facebook Effect: The Insider Story of the Company that is Connecting the World, by David Kirkpatrick, Virgin Books

The Big Short: Inside the Doomsday Machine, by Michael Lewis, Allen Lane

More Money Than God: Hedge Funds and the Making of the New Elite, by Sebastian Mallaby, Bloomsbury

Zombie Economics: How Dead Ideas Still Walk Among Us, by John Quiggin, Princeton University Press

Fault Lines: How Hidden Fractures Still Threaten the World Economy, by Raghuram G Rajan, Princeton University Press RRP£18.95

The Rational Optimist: How Prosperity Evolves, by Matt Ridley, Fourth Estate

Freefall: Free Markets and the Sinking of the Global Economy, by Joseph Stiglitz, Allen Lane
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MacroWikinomics: Rebooting Business and the World, by Don Tapscott and Anthony Williams, Atlantic Books

http://www.ft.com/cms/s/2/93929334-f8e2-11df-99ed-00144feab49a.html#axzz16dKQnrYf

Probabilidad: método infalible para pronosticar en el futbol

Ahora que se juegan las finales del futbol mexicano, asegúrese de tener botana, cervezas y su libro de estadística . Sí, en efecto, un sencillo modelo de probabilidad puede resultar impresionantemente útil para pronosticar resultados en este apasionante deporte:

Una característica del fútbol es que no abundan los goles. Incluso los mejores equipos no marcan siquiera, en promedio, dos goles en un partido. El modelo más sencillo y acertado del número de goles marcados en un partido se basa en que éstos pueden lograrse en cualquier instante, básicamente al azar, y con una media que depende del equipo, del contrincante y de si se juega o no en casa. Si éste es un modelo razonable, entonces el número de goles marcados por un equipo en un partido, está dado por una distribución de probabilidad de Poisson con una media adecuada. Para ilustrar el modelo, la tabla siguiente muestra la frecuencia (de Poisson) con la que un equipo marca goles en un partido:

Goles	0	1	2	3	4 o más
Media: 0.8 gxp	45%	36%	14%	4%	1%
Media: 1.2 gxp	30%	36%	22%	9%	3%
Media: 1.6 gxp	20%	32%	26%	14%	8%
Media: 2.0 gxp	14%	27%	27%	18%	14%

Por ejemplo, un equipo que promedia 0.8 goles por partido, tiene una probabilidad de 45% de no anotar gol en su próximo encuentro, 36% de anotar un gol y así sucesivamente.

Estas frecuencias pueden servir también para estimar la probabilidad de que gane uno u otro equipo. Consideremos un partido en el que el equipo de casa tiene una media de 1.6 goles mientras que la del equipo visitante es de 1.2 goles. Suponiendo que los números de goles marcados por cada equipo son independientes entre sí, es fácil calcular la probabilidad de que el juego finalice con un resultado determinado. Por ejemplo, de la tabla se deduce que la probabilidad de que el partido termine 0-0 es 6% (20% x 30%).

Análogamente, la probabilidad de que el marcador sea de 1-1 es de 11.5% (32% x 36%). Considerando todas las situaciones de empate, se obtiene que la probabilidad de que el partido finalice con un empate es de 25% (6% + 11.5% + 5.72% + 1.26% + 0.24%)

El primer gol

¿Cuál es la probabilidad de que gane un equipo, si ha sido el primero en marcar? En un partido donde los contendientes están muy equilibrados, si sólo se consigue un gol, está claro que el equipo que ha marcado primero es el ganador. Fijémonos, por tanto, en los partidos en los que se marcan dos goles. Después del primer gol, cualquier equipo tiene la probabilidad de marcar el segundo gol. Así, la mitad de las veces se producirá un empate a uno y la otra mitad ganará por 2-0 el equipo que ha marcado el primer gol. En los partidos con tres goles no es posible el empate. La única manera en que puede perder el equipo que ha sido el primero en marcar consiste en que el contrario marque dos goles. Como cada equipo tiene una probabilidad de un medio de marcar un gol, la probabilidad de que el equipo contrario marque los dos goles es de un cuarto (50% x 50%). Así, en estos partidos, el equipo que marca el primer gol pierde el 25% de las veces y gana el 75% de las ocasiones.

Antes de juntar todos los resultados, haremos un último cálculo referido a los partidos con cuatro goles. Designaremos con la letra P los goles del equipo que ha marcado el primer gol y con O los marcados por el otro equipo. Después del gol inicial, los tres goles restantes pueden marcarse de las siguientes formas, todas igualmente probables: PPP PPO POP OPP POO OPO OOP OOO.

Las cuatro primeras suponen la victoria del equipo que ha marcado primer lugar, las tres siguientes un empate y sólo en el último caso gana el otro equipo. Las probabilidades respectivas son: un medio, tres octavos y un octavo.

Basado en “Jugar con la probabilidad”, John Haigh

Una más de Sor Juana o de como sí hacer poesía

Lamento decirles, estimados lectores, que la poesía no es sólo "escupir" sentimientos. La poesía tiene que ver mucho más con la forma, la estructura, la métrica. La poesía barroca es una prueba de ello y, el "Laberinto endecasílabo" de Sor Juana, un gran ejemplo:

Amante, caro, dulce esposo mío,

festivo y pronto, tus felices años,

alegre canta sólo mi cariño,

dichoso, porque puede celebrarlos;

Que también se puede leer así:

Caro, dulce esposo mío,

pronto tus felices años,

canta sólo mi cariño

porque puede celebrarlos;

O así:

Dulce esposo mío

tus felices años,

sólo mi cariño

puede celebrarlos;

Es la forma señores. La estructura, la creatividad, la libertad creadora, las letras vivas. No los versitos insulsos que inundan páginas y páginas de mal llamada poesía.

Un clásico: el círculo de Sor Juana

Para conmemorar el nacimiento de Sor Juana, les dejo este clásico de naranjas y paradojas:

A los diecinueve años, la célebre escritora Sor Juana Inés de la Cruz, se unió a la orden de las Carmelitas Descalzas. A éstas religiosas el gusto no les duró mucho, pues tan sólo tres meses después la escritora las abandonó para formar parte del Monasterio de Santa Paula, una congregación de Religiosas Jerónimas Devotas.

Y era lógico que sucediera así pues San Jerónimo fue un gran escritor que adoraba las bibliotecas y a las mujeres; creía vehementemente que éstas no tenían porqué limitarse al hecho mundano de casarse, sino que podían y debían, dedicarse a asuntos como el estudio, la contemplación y la oración. Un tipo raro para su época.

Sor Juana, convencida de tales preceptos, demostró que se podía ser religiosa y letrada; más aún, que se podía ser mujer y además letrada.

La gran sabia y poetisa, que le dio brillo a la decadente segunda mitad del siglo XVII, dejó constancia de su pensar científico en el siguiente poema:

Veintidós es el número

de Diciembre, en que el Austria

dio este milagro Délfico

que los Dos Orbes con su luz abrasa.

que como es la edad círculo

de aquesta Imperial Águila,

sólo en la sesqui-séptima

proporción tripla el círculo se hallara:

pues tomando el diámetro

a lo que abraza el área,

vendrá a tener, midiéndolo,

como con veintidós el siete se halla.

El poema está dedicado a Doña Mariana de Austria y, aunque al lector le parezca una adivinanza o un problema de álgebra, lo que hace es exaltar el número 22, que corresponde al cumpleaños festejado por la Reina Madre.

El perímetro de un círculo está dado por p=pi x d, Donde pi=3.1416, (en realidad esta cifra es sólo una aproximación pues, según demostró Arquímedes, el número pi se encuentra entre 3 10/71 y 3 1/7). La clave que esclarece la relación entre el número pi y la edad de la Reina Madre radica en que 3 1/7 se puede expresar también como 22/7.

La fracción 3 1/7 lingüísticamente se puede expresar como la sesqui-séptima proporción tripla, ya que sesqui es un prefijo latino que significa vez y media, así, sesqui es lo mismo que 1 ½. Por añadidura, sesquitercio es igual a 1 1/3, sesquicuarto igual a 1 1/4, y sesquiséptimo es igual a 1 1/7. Si se multiplica 1 1/7 por tres tenemos un triple sesquiséptimo o tres veces la proporción sesquiséptima o, en palabras de Sor Juana, la sesqui-séptima proporción tripla, es decir, 3 1/7, que equivale a 22/7.

La edad círculo es 22 años en virtud de que: [...]tomando el diámetro/ a lo que abraza el área,/ vendrá a tener, midiéndolo,/ como con veintidós el siete se halla.

Es decir, si de p= pi x d (que es el perímetro, o lo que abraza el área), quitamos el diámetro (d) siguiendo algunas reglas algebraicas elementales tenemos que: p/d=22/7

Repase usted, amable lector, el poema a la luz de la explicación de Sor Juana y verá que lo único irracional es el número pi

Nota: este post es una composición realizada a partir del ensayo "La cuadratura del círculo" del gran Gabriel Zaid

El árbol de la muerte

Para celebrar el día de muertos aquí les dejo este paradójico árbol de la vida:

Foto tomada en noviembre de 2007 en la explanada de rectoría de C.U. durante la celebración de día de muertos

La bestia binaria

En un capítulo de la serie de dibujos animados “Futurama” aparece en el espejo de una vieja casona una visión espectral: 1010011010.

¿Por qué Bender se asusta ante la extraña visión? Porque conoce perfectamente el significado de los números binarios.

Cuando usted observa el número 145, automáticamente y, sin reflexionar mucho, en lo que piensa es en “ciento cuarenta y cinco”. Para comprender los números binarios es necesario examinar de nuevo el 145 y verlo, no como un número, sino como un código para un número.

Analice la relación que existe entre, por ejemplo, el número tres y “3”. El guarismo 3 es un trazo en un pedazo de papel; el número tres es una idea. El guarismo se utiliza para representar la idea.

En operaciones matemáticas de base 10 (decimal) se utilizan los guarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para representar todos los números ¿Cómo se representa el número 10?. Los griegos utilizaron X. El sistema arábigo, que es el que empleamos, se vale tanto de la posición como de los guarismos para representar los valores: el primer guarismo (de derecha a izquierda) se usa para las unidades, el siguiente para las decenas (grupos de diez) y el tercero para las centenas (grupos de 100). Así, el número quince se presenta con 15 (léalo como “uno”, “cinco”); esto es, 1 decena y 5 unidades sueltas (10+5=15)

Si cambiamos de base, y pensamos en escribir, por ejemplo, en base 7, la lógica es la misma (aunque ahora sólo tenemos seis guarismos disponibles): en la primera posición van las unidades; en la segunda, grupos de 7 (así como en decimal son grupos de 10) y en la tercera posición grupos de 49 (así como en decimal son grupos de 100). Así, quince en base 7 se escribe: 21₇ (dos grupos de 7 en la segunda posición y una unidad suelta en la primera,14+1=15). ¿Y en base 8? 17₈ (1 grupo de ocho y siete unidades sueltas, 8+7=15).

La base 2 es la consolidación de esta idea. Existen únicamente dos guarismos: 1 y 0.

El número quince en base dos o binario se escribe: 1111₂, en virtud de que se requiere: un grupo de 8, uno de 4, otro de 2 y una unidad suelta (8+4+2+1=15).

La agrupación en base 2 es pues, como sigue:

Posición	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Grupos de	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Para saber que número es el 1010011010 expresado en base 10 hay que hacer los siguiente: 1(512) + 0(256) +1(128) + 0(64) + 0(32) + 1(16) + 1(8) + 0(4) + 1(2) + 0(1)= 512+128+16+8+2 ó lo que es lo mismo: 666 el llamado número de la bestia.

Por cierto, J Steward Burns, productor y guionista de “Futurama” y “The Simpsons”, es Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Harvard y Máster en Matémáticas por U.C. Berkeley.

De la vida, el universo y todo lo demás

El número 42 no es un número cualquiera proveniente del azar. Este número es la precisa respuesta a la última pregunta sobre la vida, el universo y todo lo demás:

(Transcrito del genial sitio: http://gizmodo.com/5659984/today-is-the-ultimate-answer-to-the-ultimate-question-of-life-the-universe-and-everything?skyline=true&s=i )

Today is October 10, 2010. 10/10/10. In binary, that's 42. And 42 is The Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe and Everything. Or at least, that's what Douglas Adams says.

Many people wonder what Adams exactly meant by 42, the answer given by the supercomputer Deep Thought in The Hitchhiker's Guide to the Galaxy. Why did Adams pick that number? Is there a connection to something the world doesn't know about? Is the CIA and the MI6 involved in all this? Real aliens, perhaps?

On November 3, 1993, he gave an answer on alt.fan.douglas-adams:

The answer to this is very simple. It was a joke. It had to be a number, an ordinary, smallish number, and I chose that one. Binary representations, base thirteen, Tibetan monks are all complete nonsense. I sat at my desk, stared into the garden and thought '42 will do'. I typed it out. End of story.

Later, talking to BBC Radio 4 Iain Johnstone, he explained that the number was chosen by none other than John Cleese as the punch line for one of his skits. The famed Python thought it was a funny number, and Adams borrowed it for his book, turning it into a recurring integer through all his work.

But that comment wasn't the end of the mystery. Stephen Fry—a friend of Adams—also jumped into the debate, claiming that the latter explained to him why it was 42. Fry will not reveal the secret, but he says it is "fascinating, extraordinary and, when you think hard about it, completely obvious."

Whatever it is, it sure has had a deep impact in geeklore. One example: The Allen Telescope Array—the radio telescopes system erected by Microsoft's Paul Allen for the SETI program—has 42 dishes in honor of Adams. And in Lost, 42 is the last number in the sequence that has to be entered on The Swan's computer, which is also the sequence picked by Hurley for his winning lottery ticket, and Kwon's number in the cave. In a Lostpedia interview, one of the show's producers confirmed that this was indeed a homage to The Hitchhiker's Guide to the Galaxy.

This date only repeats itself every hundred years. The next one will be in 2110. [Thanks Paul Cohen!]

Las contradicciones de Rushdie

 

Sin la gracia de las paradojas y las contradicciones, la literatura, como la vida, se vería empequeñecida. Es el gran juego de la poesía y de la ficción: hacer creer que existe lo que no existe

En la obra de Tom Stoppard Acróbatas, el personaje que le da título en inglés, el filósofo Sir Archibald Jumpers, les pide a sus estudiantes que expliquen por qué, en su opinión, la gente creía que el sol giraba alrededor de la Tierra. Uno de ellos contesta que supone que es porque da la impresión de que el sol gira alrededor de la Tierra. «¿Qué impresión daría», le pregunta Archibald, «si la Tierra girase alrededor del sol?». Es una hermosa broma que crece poco a poco, como lo hacen las risas a medida que el público se da cuenta de que la impresión sería exactamente la misma porque, después de todo, eso es lo que realmente sucede. Esta es la gracia de la paradoja, y sin ella, la literatura, y la vida, se verían dolorosamente empequeñecidas; de hecho, algunos críticos han afirmado que la conexión entre la paradoja y la poesía es tan íntima que ambas son lo mismo.

La naturaleza de la fe

La paradoja surge en la Biblia, donde la idea del nacimiento virginal encarna la naturaleza paradójica de la fe, y perdura hasta nuestros días, en los que una búsqueda de lo más somera en la literatura de la cultura popular revela análisis de la «Paradoja de los Beatles» (que hace referencia a que eran jóvenes rebeldes que rápidamente se convirtieron en personajes importantes del sistema con Órdenes del Imperio Británico), la «Paradoja de Oprah Winfrey» (que radica en que, mientras que nos da consejos personales sobre nuestras vidas, como si fuese un familiar cercano, sigue siendo distante, misteriosa y desconocida) y la «Paradoja de Eminem» (que consiste en que es y al mismo tiempo no es el auténtico Slim Shady).

A la hora exacta

Don Quijote es una paradoja sobre un maltrecho caballo, el caballero errante cuyos vagabundeos desmontan la idea en sí del caballero errante, el loco caballeroso cuya locura pone de manifiesto la locura aún mayor del ideal caballeresco. En el relato de Borges La muerte y la brújula, el detective Erik Lönnrot resuelve el acertijo de una misteriosa serie de asesinatos y logra averiguar la hora y el lugar de la siguiente muerte, sólo para descubrir, demasiado tarde para salvarse a sí mismo, que él es la víctima planeada y que los demás crímenes tenían como objetivo llevarle hasta el lugar del asesinato.

Oscar Wilde, que dijo que podía resistir cualquier cosa excepto la tentación, encarna las paradojas del hedonismo. Y en la novela de Joseph Heller Tan bueno como el oro, el personaje del ayudante presidencial Ralph Newsome, la encarnación de las deshonestidades de la política, habla exclusivamente con frases que son oxímoron y cuyos finales contradicen sus principios: «Este presidente les respaldará siempre hasta que tenga que hacerlo». «Queremos avanzar en este asunto tan rápido como sea posible, aunque tendremos que ir despacio.» «Este presidente no quiere hombres que digan que sí a todo. Lo que queremos son hombres íntegros e independientes que estén de acuerdo con todas nuestras decisiones una vez que las tomemos.»

Para mí, la más hermosa de las paradojas es la famosa frase que aparece hacia el final del Canto a mí mismo de Whitman:

¿Me estoy contradiciendo?
Muy bien, pues me contradigo.
(Soy grande, contengo multitudes).

Saleem Sinai, al principio de mi novela Hijos de la medianoche, se hace eco de este sentimiento en la afirmación deliberadamente whitmaniana: «Para comprenderme, solamente a mí, tendrás que tragarte el mundo». La novela que sigue a esa frase es un intento de obedecer la orden de Saleem y tragarse, si no el mundo entero, al menos un subcontinente.

Monstruo suelto y holgado

La naturaleza humana es contradictoria y el ego humano es algo multiforme y amplio, un «monstruo suelto y holgado», si se me permite apropiarme de la descripción que hace Henry James de determinadas clases de novela. Podemos ser, somos, muchos «yos» al mismo tiempo; podemos ser tiernos con nuestros hijos, pero implacables con nuestros empleados; podemos amar a Dios, pero odiar a los seres humanos; podemos preocuparnos por el medio ambiente y, aun así, dejar las luces encendidas cuando salimos de casa; podemos ser almas pacíficas que llegan, movidas por su pasión por un equipo de fútbol, a extremos agresivos e incluso vándalos. Y da igual la convicción con que queramos defender la soberanía del yo individual –una idea nacida en el Renacimiento florentino que tal vez sea el mayor regalo que le ha hecho Italia a la civilización mundial–, lo cierto es que ese yo es soberano y a la vez está invadido por otros «yos». Es simultáneamente autónomo y no autónomo.

Ninguno de nosotros llega al mundo con las manos vacías. Llevamos con nosotros el bagaje de nuestra herencia, tanto biológica como cultural, y esa herencia nos limita a la vez que nos capacita, nos paraliza y nos libera. Puede que nos creamos libres para elegir, y moralmente responsables de nuestras decisiones, y está bien que nos concibamos así, pero el modo en que enmarcamos esas decisiones, y concretamente las decisiones particulares que sentimos que tenemos que tomar, no es algo que decidamos únicamente nosotros.

Nuestra sangre vital

Así que somos seres paradójicos, individuales y sociales a la vez, tanto de nuestro tiempo como parte del flujo de la Historia. Somos mortales pero tenemos, como la Cleopatra de Shakespeare, anhelos inmortales en nuestro interior; y la contradicción es nuestra sangre vital. Hay grandes beneficios sociales en estas definiciones tan amplias del yo ya que, cuantos más yos encontremos dentro de nosotros mismos, más fácil será hallar puntos en común con otros yos diversos que contengan multitudes. Podemos tener creencias religiosas diferentes pero apoyar al mismo equipo. Sin embargo, vivimos en una época en la que se nos insta a definirnos de forma cada vez más estricta, a comprimir nuestra multidimensionalidad dentro de la camisa de fuerza de una identidad unidimensional nacional, étnica, tribal o religiosa.

La literatura se regocija con la contradicción

He llegado a pensar que este podría ser el mal del que se derivan todos los demás males de nuestro tiempo. Porque cuando sucumbimos a esta limitación, cuando dejamos que nos simplifiquen y nos conviertan en meros serbios, croatas, musulmanes, hindúes, entonces empieza a resultarnos fácil vernos mutuamente como adversarios, como los Otros de cada uno, y hasta los puntos cardinales de la brújula empiezan a rivalizar, el este y el oeste chocan, y también el norte y el sur.

La literatura nunca ha perdido de vista lo que nuestro pendenciero mundo trata de obligarnos a olvidar. La literatura se regocija con la contradicción, y en nuestras novelas y poemas cantamos a nuestra complejidad humana, a nuestra capacidad de ser, simultáneamente, tanto el sí como el no, tanto esto como aquello, sin sentir la más mínima incomodidad.

El equivalente árabe de la expresión «érase una vez» es kan ma kan, que se traduce como «era así, no era así». Esta gran paradoja subyace en el fondo de toda ficción. La ficción es precisamente ese lugar donde las cosas son así y no son así, donde existen mundos en los que podemos creer sinceramente aun sabiendo también que no existen, que nunca han existido y que nunca existirán. Y en nuestra era de simplificación excesiva, esta hermosa complicación nunca ha sido más importante.

Transcrito del original en: http://www.abc.es/20100909/cultura/contradicciones-rushdie-201009091230.html

De naranjas y paradojas

Esquina de Palma y Donceles. Atardecer soleado. Buen humor. El Neto, como siempre, atrae a los transeúntes con la mejor de sus letanías: señor, señora, señorita, que no le digan, que no le cuenten, aquí le vengo a mostrar, lo que ni los más grandes científicos, acaban por comprobar. La gente se acerca y el Neto, profesional del oficio, crea suspenso antes de entrar en acción. ¡A ver señorita! sí, usted, usted, la del collar de bolitas ¡acérquese por favor! La Lupe, que ya no puede con la bolsa de naranjas, se aproxima, no sin cierta timidez. Deje por aquí la bolsa señorita-dice el Neto- y présteme una de sus naranjas.

El Neto, naranja en mano, incita a la gente a fijar su atención en ésta y también en su “navajita milagrosa” que, con ceremonia episcopal, ha sacado de su bolsa. Lleva sus manos a las alturas y promete con grandilocuencia el milagro de milagros: la duplicación de la naranja. Los menos blasfemos se persignan, los más, piensan que a ese merolico güey, ni un peso cuando pase el sombrero.

El Neto ha creado el momento, las miradas se concentran en las manos en alto que llevan la naranja y la navaja. Con destreza de cirujano y ante los ojos incrédulos, divide la naranja en varios pedazos que muestra al público. Después, con rapidez felina, reacomoda los pedazos en lo que, para el asombro general ¡son dos naranjas idénticas a la original! La gente no da crédito a sus ojos: ahí está el Neto, triunfal, mostrando ante su público las dos naranjas. El Neto llama a la mano santa del respetable público para que certifique que, efectivamente, las naranjas son iguales y no les falta nadita de lo que tenía la original.

El público quiere más, ofrecen las naranjas de la Lupe, para que el Neto multiplique el milagro no una, sino dos docenas de veces. La suspicacia también ronda, Bety la del ITAM, sabe que hay gato encerrado, aunque sus ojos no pueden mentirle. Se aparta de la muchedumbre, no sin antes dejar diez pesos en el sombrero. Cavila hacia sus adentros sobre el acontecimiento. “Mañana le pregunto al profe de cálculo” se dice.

Dos semanas después Bety siente que algo se le ha olvidado, recuerda que viene el departamental de cálculo, pero había algo más por ahí que la tenía intrigada. Ya en la clase de cálculo el profe comienza su perorata sobre medición de áreas y volúmenes:

            “Desde la remota antigüedad, la humanidad tenía necesidad de calcular  áreas y volúmenes de ciertas superficies y cuerpos geométricos. Pero cuando uno pasa de medir áreas de parcelas o volúmenes de pelotas, a tratar de asignar área o volumen, a objetos que sean más caprichosos en forma y descripción, surge inmediatamente el problema de cómo calcular  tal área o volumen y también el problema de cuál debe ser una noción correcta de área o volumen.

            Los osados matemáticos pretendieron calcular el volumen, por ejemplo, de cualquier subconjunto del espacio tridimensional (R3), con las condiciones de que el volumen de un objeto no cambie al trasladarlo o rotarlo, que el volumen de una colección (numerable) de objetos que no se interceptan sea la suma de los volúmenes individuales y que en objetos sencillos como cajas, el volumen se calcule como debe ser: largo por ancho por alto (en suma, éstas son las propiedades que definen una buena noción de volumen).

            Fue el matemático francés Henri L. Lebesgue (francés, 1875 – 1941) quién demostró que no es posible calcular el volumen a cualquier subconjunto del espacio R3 si se piden las condiciones del párrafo anterior. Luego, debe haber subconjuntos de R3 a los que no se les pueda asignar un volumen.

            El matemático italiano Giuseppe Vitali (italiano, 1875 – 1932 ) exhibió ejemplos, relativamente complicados, de conjuntos que no pueden tener volumen.

            Habiendo conjuntos que no pueden tener volumen (no-medibles en la jerga matemática) Stefan Banach (polaco, 1892 – 1945) y Alfred Tarski (polaco, 1902-1983 ) demostraron el famoso Teorema de Banach-Tarski (también conocido como la paradoja de Banach-Tarski).

            La paradoja puede enunciarse como sigue: Dado un cuerpo sólido en R3, es posible dividirlo en un número finito de partes y re-ensamblar todas esas partes para producir dos objetos sólidos idénticos al original.

            También, por ejemplo, podría enunciarse así:

            Dada una esfera sólida del tamaño de un chícharo, es posible dividirla en un número finito de partes de tal forma que algún re-ensamblado de todas esas partes produzca una esfera sólida del tamaño del sol.”

Bety pensó en el Neto: el condenado había usado su navaja para cortar un no-medible en la naranja.

Gracias a César Luis García por la inspiración)